高等数学课件系列七篇

03-29

每个老师都需要在课前准备好自己的教案课件，本学期又到了写教案课件的时候了。 教师应该在教案课件中充分展示，让学生理解和掌握知识。我在教育网上找到一篇关于“高等数学课件”的文章内容很详尽，希望这些知识能够对你有所帮助！

高等数学课件 篇1

高等数学课程是大学数学课程的一种，通常包括微积分、线性代数等内容。它为学生提供了更深入的数学知识，为他们在数学领域的研究和专业发展打下了坚实的基础。以下是关于高等数学的主题范文。

一、微积分是高等数学的重要组成部分，其应用范围非常广泛。通过学习微积分，学生可以更深入地理解数学对于自然科学和工程科学的重要性，以及数学在经济学和金融学等领域的应用。此外，微积分也是理解人类历史上最伟大的数学要素之一，如牛顿与莱布尼茨的发现和应用。随着时代的变化和数学的发展，现代微积分也经历了很多新的变化和应用，如微分方程和复变函数。

二、线性代数是另一个重要的高等数学领域，它将数学的概念与实际的科学和工程应用结合起来。学生学习线性代数的过程中，他们将会掌握矩阵的基本概念，矩阵方程，向量空间，线性变换，欧几里得空间等重要概念。线性代数也是现代计算机科学领域中应用广泛的领域，因为它对于处理大量复杂和抽象的数据有着重要的方法和工具。

三、高等数学的Calculus（微积分）和Linear Algebra（线性代数）是现代科学和工程的基础。这些数学思想和方法的理解和掌握将使得学生们在科学领域中更加成功。学生不仅要掌握计算技能，更重要的是理解概念和理论的物理和几何意义。在应用和计算方面，学生还需要熟练掌握数学软件和工具，如MATLAB, Maple等。

四、高等数学教育是大学教育中最重要的组成部分之一，它不仅为自然科学和工程学科的发展做出了重要贡献，而且也为其他领域的理论和应用提供了强有力的工具。高等数学不仅为理解和探究自然界和人类文化提供了基础，而且还为学生的个人发展和成就提供了坚实的数学知识基础。因此，高等数学教育的重要性在当今社会中变得越来越明显，我们应该重视数学教育，并为学生提供更好的数学教育资源和机会。

五、高等数学教育应强调学生们对数学知识的理解和应用能力的培养。要实现这一目的，教育者应该采用更多的探究式学习方法和应用例子来让学生发现数学概念的重要性。同时，教育者应该鼓励学生们利用数学知识，为社会做出更大的贡献。

总而言之，高等数学教育是大学教育的重要组成部分。学生通过学习微积分和线性代数等数学知识，将会掌握更深入的数学理解和应用，从而对自然科学和工程学科的发展做出更大的贡献。教育者应该注重学生对数学知识的理解和应用能力的培养，同时鼓励学生利用数学知识为社会创造更大的价值。

高等数学课件 篇2

高等数学课件是一种重要的教学资源，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学能力。在现代教育中，教育技术的发展和应用，使得教师能够使用多种形式的教学资源，包括课件等。因此，高等数学课件的编写和使用已经成为了现代高等数学教学的重要课题。

高等数学课件的编写需要考虑到学生的学习需求和教学目标。在编写课件时，应当根据课程内容、学生的知识水平、教学目标等因素进行分析和设计，以达到最好的教学效果。由于高等数学的知识层次较为复杂，因此编写高等数学课件时需要充分考虑到学生的认知模式和学习习惯，力求让学生更好地理解和掌握数学知识。

高等数学课件应具备以下几个方面的要求：

一、准确性。高等数学知识的准确性是基本要求，因为任何一个错误的公式或概念，都会对学生成长和知识的累积产生负面影响。因此在编写和使用高等数学课件时，应严格控制内容的准确性，确保学生能够掌握正确的知识和技能。

二、清晰性。高等数学是一门较为抽象的学科，对于学生来说，掌握数学知识本身就需要花费较大的认知代价。因此，在编写和使用高等数学课件时，应力求将知识的概念和原理表达得尽可能清晰和易懂，避免出现模糊或难以理解的语言和表达方式。

三、实用性。高等数学课件的编写和使用应力求贴近实际问题和应用情境，帮助学生理解知识的实际应用场景和方法，培养学生的解决实际问题的能力。

四、适用性。高等数学课件的设计应当考虑到不同年级、不同层次、不同专业学生的不同需求，尽可能做到适用性的设计，以便保持高效和灵活性。

在高等数学课件的编写和使用中，应尽可能满足学生的学习需求和教学目标，强化课程知识的建设和教学策略的完善，以提高数学教育的质量和水平。同时，高等数学课件的编写和使用应在保持教学质量和效果的同时，适应教育技术的不断创新和进步，推动教学模式和教学流程的优化和升华。

高等数学课件 篇3

高等数学课件

高等数学课程对于大多数理工科学生来说，是必修课程中的一门重要课程。这门课程的学习内容极其丰富，包括了微积分、线性代数、常微分方程等方面的知识。为了帮助学生更好地学习高等数学课程，课件是一个非常有效的学习工具。

一、高等数学课程概述

高等数学课程是大多数理科学生必修的一门学科，主要包括微积分、线性代数、概率与统计、数学分析等内容，是研究各种现代科学问题所必需的一种重要工具。高等数学的学习对于提高学生的数学素养、加强数学思维能力、提高科学研究能力、提高综合素质都具有重要的作用。

二、高等数学课件设计

针对高等数学课程的课件设计，应该根据课程大纲进行设计，使其能够帮助学生更好地掌握重点难点知识，同时使学生能够通过课件进行自主学习。以下是高等数学课件设计的几个方面：

1.内容分析：对于高等数学课程的内容进行分析，并提取重点难点知识点，为学生学习提供有针对性的指导。

2.教学方法：针对不同的知识点，采用不同的教学方法，如实例分析、问题导向、知识链接等。

3.学习工具：为学生提供学习工具，如习题集、在线视频、强化训练等，使学生能够更好地进行练习、巩固知识点。

4.互动方式：采用互动方式，使学生与教师之间、学生与学生之间能够进行有效沟通，交流经验，灵活开展学习。

三、高等数学课件的优点

高等数学课件的优点主要表现在以下几个方面：

1. 图像直观：高等数学中的许多数学模型，通过课件能够通过图表等形式进行展现，使学生能够直观地理解相关内容，加深对概念的理解。

2. 动态演示：高等数学涉及到的许多计算过程和公式，通过课件进行动态演示，使学生能够更加深入理解相关内容。

3. 学习效率高：通过课件，学生能够自主选择学习时间和地点，以及自主选择学习内容，灵活性较大，学习效率能够得到极大提高。

4. 综合性强：高等数学课件能够将不同章节的内容连接在一起，形成一个完整的知识体系，使学生能够更好地进行全面学习。

高等数学课件的设计和应用对于学生的自主学习、知识掌握和综合能力的提升都具有重要意义。针对高等数学课程的特点和学生的需求，需要有相应的课件设计方案，能够满足学生的学习需要，提高学生的学习效率和课程质量。

高等数学课件 篇4

高等数学课程是大学数学教学中的重要组成部分，包含微积分、线性代数、概率论与数理统计等模块。学生们通过上这门课，能够系统地学习和掌握高等数学的基础理论、方法和技能，为未来的学术研究和职场实践打下坚实的数学基础。

一、微积分模块

微积分是高等数学的核心内容之一，由导数、微分、积分三部分组成。学生们需要掌握函数的导数、极值、凹凸性等概念，了解微分的意义、性质和应用，学会积分方法和应用。除此之外，微积分还与其他学科紧密相关，在物理、工程、计算机等领域都有广泛应用。

二、线性代数模块

线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等数学对象的学科。它在数学和工程学科中有广泛应用，如图像处理、信号处理、电路设计、计算机图形学等。在线性代数的学习过程中，学生们需要理解向量空间的含义和性质，了解线性变换和矩阵的运算规律，掌握行列式计算和线性方程组的求解等基础知识和技能。

三、概率论与数理统计模块

概率论和数理统计是研究随机现象的规律和统计规律的学科。概率论研究事件的可能性和发生规律，数理统计研究数据的收集、整理和分析。这两个学科广泛应用于社会、经济、科学、工程等领域。学生们需要理解基本概率概念和概率公式，掌握概率分布和随机变量的性质，以及数理统计的基本方法和应用。

四、高等数学课程的教学方法和教材

高等数学课程教学方法和教材的选择对学生的学习效果和兴趣培养都有重要影响。一般来说，高等数学课程的教学应该以理论与实践相结合为原则，加强计算和分析能力的训练，增加实例和案例的引入，激发学生对数学学科的兴趣。教材要选择权威、系统、具有实用价值和启迪性的作品，如《高等数学》、《线性代数及其应用》、《概率论与数理统计》等。

总之，高等数学课程是大学数学教育中的重要内容，学生们需要全面学习微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容，掌握数学基础理论和方法，为将来的学术研究和职场实践打下坚实的数学基础。

高等数学课件 篇5

高等数学教案

课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB

全集I、E

补集AC：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)

对偶律

(AB)AB

(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)闭区间

a,b 半开半闭区间

a,b有限、无限区间 cccccca,b

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径



去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射 1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x)xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符号函数

1y01x0x0x04)取整函数 yx

（阶梯曲线）

2x0x1x15)分段函数 y

2、函数的几种特性

1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

函数与反函数的图像关yx于对称

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1(y)x，称此映射f1为f函数的

1)幂函数：yxa

2)指数函数：yax

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

()

ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

5)反三角函数

yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

ee2xxyarccot(x)

shx

chxxxxxee2xx

thxshxchxeeee

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

例 1 数列是这样一个数列xn，其中

n1a2a3a4an

xn也可写为：

1121n，n1,2,3,4,5

131415

1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

limxna

n也可等价表述：

1）0

2）0NNnNnN(xna)

xnO(a)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

定理3：如果limxna且a>0(a0，当n>N时，xn0x(xn0)

定理

4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在x0点的极限

1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

xx0形式定义为：

0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、x的极限

设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

f(x)A

线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

x

在无穷远点的左右极限：

f()lim关系为： xf(x)

f()limf(x)

xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

xxx

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

1、 则称它为无穷小量，即limxn0

x的意义；

2、xn可写成xn0；(0,xn)

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列xn，如果成立：

G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

1f(x)为无穷大

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

lim0limx1xnx

limlimx1xnx0

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

1、无穷小的性质

设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（4）xn也是无穷小量：

xx0limxn0limxn0

xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx0

2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

3、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

xx0limf(x)f(x)xx0

lim

xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

lim

x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

g(x)u0，则

xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

两个重要极限

定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

xxlimyna

x

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：limx0sinxx1

例：

limx0

例：证明：lim(1xtanxx

limx01cosxxlimx0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1)x的极限

xx1x

第七节：无穷小的比较

定义：若,为无穷小

limlim0c0c01且

limlimlim

K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

1、若,为等价无穷小，则()

2、若～1、～1且

lim1111存在，则： limlim

例：

limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

f(x00)f(x0)f(x00)

或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

limf(x)f(x0)

其形式定义如下：

xx00x(xx0)f(x)f(x0)

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：

f(x00)f(x00)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

xDf是严格单调增加（减少）并且连续

反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

yf1(x)xDf1

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

xx0limf(g(x))f(limg(x))

xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

D1yyf(x),xD

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

xD

类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

二、有界性

xDff(x)称为函数在上的最小值。

有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

f()f(x)f(),亦即

xa,b

f()min xa,bf(x)

f()maxf(x)

xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

零点定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

中值定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

作业：见课后各章节练习。

高等数学课件 篇6

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvzzduzdv(zz)o(t)o()



tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv

dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20

tdtdtt0tt0推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？z？

yx

提示 zzu zzuzdv

xuxyuyvdyz

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？？

yxffff

提示 zu zu

xuxxyuyyf这里z与是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xxxffz偏导数 是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

z

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx2y2z2 而zx2siny 求u和u

yx

2xex2y2z22zex2y2z22xsiny

 2x(12x2siny)ex2y2x4si2nyff

uz

yyzy

2yex2y2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycoys)ex2y2x4si2ny

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

dt

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

2ww

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及 xzx

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

f(u,v)f(u,v)f22等

引入记号 f1 f12 同理有f2f11uuvwfufvfyzf

2

xuxvx12ff

w(f1yzf2)1yf2yz2

xzzzzxyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f11f1f1uf1vfffxyf12 22u2vf21xyf22 f11zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

注

22u

(1)(u)2(u)2

(2)uxyx2y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuxuyuuysincos

uu

xxx2uuyuxuucossin

uu

yyy2y x两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2(u)(u) 

ux2xxxxu)co)sin susins(ucosusin

(co22222uusincosusinu2sincosusin 222

2cos22同理可得 222222uuusincosucosu2sincosucos 22sin2222y两式相加 得

22222uuu11u1u

222222[()u]

2xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzv)dx(zuzv)dy

（uxvxuyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxyvxy

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

Fdyx

dxFy

求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

dy等式两边对x求导得 FF0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 Fdyx

dxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

Fdydyxx 0

dxFyydxx0yx(x)dyyxyyy2x2d2y13； 1

dx2y2y2y3ydx2x0

2隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FF

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 

yx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

FF

zx zy

xFzyFz2z

例2.设xyz4z0 求2

x

解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4 222

zFx2xx

xFz2z42z

z(2x)x(x)(2x)x222zx2z(2x)x

x2(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx

v

x2y2x2y2y 事实上

xuyv0 vxuyuxxu1u22 

yyxyyvx222x2

yxyxy

如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

FxFvFuFxGGGG(F,G)(F,G)

u1xv

v1ux

xJ(x,v)xJ(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv(F,G)(F,G)

u1

v1

yJ(y,v)yJ(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定

uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGyGuGv0.yyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

yxxy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvyvx0xxyuxvxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvuyx0yyxvyuxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

yxyyxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即

udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdx解之得 duxuyvxvyudxdy

x2y2x2y dvyuxvxuyvdxdy

x2y2x2y2xuyvxvyu于是

u22 u22

xyxyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)0 (u,v)xx(u,v)

(1)证明方程组



yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv

uxvx

yy0uvuxvx由于J0 故可解得

yy

u1 v1

JuxJvx

同理 可得

u1xv1x

 

yJvyJu

§8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0yy0zz0 xyz当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑 xx0yy0zz0

 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

x1y1z 

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和 dydzdxdxGxGyGz0dxdxdydz,) dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

dydz02x2y2zdxdx

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得dy1dz0dxdx切向量为T(1, 解方程组得dyzxdzxy  dxyzdxyzdy0 dz1 dxdx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

x1y2z1



101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

在点(1 2 1)处

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0yy0zz0

Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

y2z3法线方程为x1

3讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

x2y1z4法线方程为 

421§8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即

fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

limfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

tt0这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

ff

沿x轴正向时 cos cos0

lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0  

lx2y

例1 求函数zxe在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(1, 1)

22 因为函数可微分 且zx所以所求方向导数为

(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2

z112(1)2

l(1,0)22

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)

t

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl3132211(532)

2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

f

讨论 的最大值

l

结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方f向的方向导数就等于|grad f(x0 y0)| 于是

nf

grafd(x0,y0)n

n

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

1

x2y2 解 这里f(x,y)212

xy 例3 求grad

因为 ff2y22x22 222

xy(xy)(xy)2y所以

gra d21222x22i222j

xy(xy)(xy)

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离 rmx

解 (m)mxrr2xr3my同理

(m)3 (m)mz 3yrrzrrxiyjzk) 从而

gramdm(rrr2rryzx记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmme

rrrrr2r

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r

r§88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式f(x y0)这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有fx(x0 y0)0类似地可证fy(x0 y0)0从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值定理2(充分条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下(1)ACB2>0时具有极值 且当A0时有极小值(2)ACB20 则函数具有极值 且当fxx0时有极小值极值的求法第一步 解方程组fx(x y)0 fy(x y)0求得一切实数解 即可得一切驻点第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C第三步 定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值fx(x,y)3x26x90 解 解方程组2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)再求出二阶偏导数fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5在点(1 2)处 ACB212(6)0 又A0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 2从这个例子还可看出在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积A1(242x2xcos242x)xsin2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )令Ax24sin4xsin2xsin cos0A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0由于sin 0 x0 上述方程组可化为122xxcos02224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0二、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2 解得za2xy 于是得2(xy)2Vxy(a2xy)2(xy)只需求V的无条件极值问题在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有(x0 y0)0假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数zf [x (x)]于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有dy0dzxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dxdxxx0即fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立y(x0,y0)fy(x0,y0)设 上述必要条件变为y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x0,y0)0拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数F(x y)f(x y)(x y)其中为某一常数然后解方程组Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件2(xyyzxz)a2下求函数Vxyz的最大值构成辅助函数F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)解方程组Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0z22xy2yz2xza得xyz6a6这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3

高等数学课件 篇7

-----[xn1 , xn]，AA1A2An，xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，Aif(i)xi，Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.Alimf(i)xi.0i

1-----高等数学教案-----

n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数，路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，ss1s2sn，tititi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i，siv(i)ti，-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 ,  , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn1 , xn]，-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.如果

limf(i)xi

0i1n存在，且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上

-----高等数学教案-----

则称此极限为f(x)i点的取法，在[a , b]上的定积分，记为

f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上

-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续，则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义：

①如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则

b af(x)dxs

(S是曲边梯

-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则 b af(x)dxs

(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:

-----高等数学教案-----

①当ab时， af(x)dx0.ab

②当时，ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质：

①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1，则

b b a1dx adxba.b b b b a a a

-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0，则

b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x)，则

b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M，则

bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)

-----高等数学教案-----在[a , b]上连续，则在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得

mf(x)M，bm(ba) af(x)dxM(ba)，f(x)dx amM，ba

-----高等数学教案-----

b故在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()ba即

b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数，有 12 0[f(x)]dx0，1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0

-----高等数学教案-----，所以

124 0f(x)dx4 0f(x)dx0，即

 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式

1.积分上限的函数(变上限

-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续，称

x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续，x则(x) af(t)dt可导，且

xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----

sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12

xlimx1

2-----高等数学教案-----



3. (x)f(t)dt

f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd

例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例

15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22

-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续，且单调增加，证明:

x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时，f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x

f(x)f()(xa)

-----高等数学教案-----

(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加，而ax，所以

f(x)f()F(x)0，(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----

为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数，所以(x)F(x)C.由于

(a)F(a)C，a(a) af(t)dt0，得

CF(a)，(x)F(x)F(a)，(b)F(b)F(a)，b即

(b) af(x)dx

F(b)F(a)

F(x).ba

-----高等数学教案-----证: 因

1

1例7. 2dxlnx2

xln1ln2 ln2.1

例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx

221xx(x)0(x)22

1.例9.设

x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ，-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----

:

2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2

例10.求

x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x

tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法

-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:

b af(x)dx x(t)f[(t)]（其中f(x)连续，(t)有连续的导数，a()，b()，.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x  1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1

3-----高等数学教案-----例 例

223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112

12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint  cost 24

-----高等数学教案-----

sin2tcostdt

2 例

2  cottdt

4 2(csc2 t1)dt

4(cottt)2

414. 5 02sinxcosxdx

 5 02cosxdcosx

(166cosx)20

16.-----高等数学教案-----

4.例5. 0x(2x)dx

12421 0(2x)d(2x)2

25111

[(2x)]0

2531

.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数，则

a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12

4-----高等数学教案----- af(x)dx xt  af(t)( 0 0

 af(t)dt  0f(t)dt  0f(x)dx.a a 0所

以

a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx

2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且

a为奇函数，则

 af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2

-----高等数学教案-----

32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数，所以

xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数，1x

-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数，所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122

312[(arctanx)]0

332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续，-----高等数学教案-----.3证明:  0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat  af(at)(dt)a:

 af(at)dt  0f(at)dt  0f(ax)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明: f(sinx)dx

-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx

 xt 2 2 0f(cost)(d 2 0

f(cost)dt

2 0f(cosx)dx.2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明:  0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02 

-----高等数学教案-----证:  0xf(sinx)dx

0 xt  (t)f(sint)

 0(t)f(sint)dt  0f(sint)dt 0tf(sint)dt

 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx.    解 0 得

.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数，xf(sinx)dx

-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe，求f(x)的表达式.xt证:  0ef(xt)dt xt 0x txu  xe 0xuf(u)(du)

eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe，得

xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数，得

x ef(x)1，x x 0ux

-----高等数学教案-----即

f(x)e.4.定积分的分部积分法:

x

 auvdx(uv) auvdx.bba b

例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx

55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx

x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明:

-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证:  a 0 aTf(x)dx

T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx

af(x)dx

xuT  0f(uT)du  0f(u)du  0f(x)dx  af(x)dx.0 a a所以

 a aT 0f(x)dx

T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx

-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续，证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)

bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则

b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h

-----高等数学教案-----

baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续，存在，f(x)dxta，如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛，且

t

 af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.

-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续，tb，如果limtf(x)dx存在，tb则称反常义积分f(x)dx收敛，且

b

f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续，如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分  f(x)dx收敛，且

b

-----高等数学教案----- f(x)dx  f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:

F()limF(x)，xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x)，则当F()存在时， af(x)dxF()F(a)

[F(x)].a

-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x)，则当F()存在时，bf(x)dxF(b)F()

[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，f(x)dxF()F()

[F(x)].例1.判断反常积分

x 0xedx

2-----高等数学教案-----是否收敛，若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11

xlim(e) 221 .2

例2.判断反常积分

1 cosxdx

22的敛散性.解: 原式(sinx)

1sin(1)limsinx.xsinx不存在，由于xlim所以反

-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1

-----高等数学教案-----

1 1的敛散性 ,  , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx，当1时发散.例4.判断反常积分

 1 1x2dx.解:  1 1x2dx

-----高等数学教案-----

1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0



22. 1 

例5.判断反常积分

1dx

2xx 的敛散性.1dx解:  1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1

-----高等数学教案-----

x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.如果limtf(x)dx存在，则称反常积ta

-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.如果

blimaf(x)dx存在，则称反常积tbt分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续，点c为f(x)的 b

-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分

b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则

b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxF(b)limF(x)

xa[F(x)].ba

-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxlimF(x)F(a)

xb[F(x)].ba

例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x

x 0101.-----高等数学教案-----

1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解:  11 0xdx

(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1

0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)

-----高等数学教案-----

1 1 , 1 , 11 , 1  , 1 11所以反常积分 0dx，当1x时收敛，当1时发散.11

例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解:  12dx x 01 11 12dx 02dx

xx 1

-----高等数学教案-----

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